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[수학I] 22. 등비수열의 합 (개념+공식+수학문제) – 학습지제작소
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주제에 대한 기사 평가 등비 수열 의 합
- Author: 수악중독
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- Date Published: 2018. 12. 29.
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등비수열의 합, 등비수열의 합 공식
등비수열에 대해서 알아봤으니까 이제는 등비수열의 합에 대해서 알아보죠.
등비수열의 합 공식은 등차수열의 합 구하는 공식과 유도 과정이 비슷하지만 달라요. 어떤 점이 다른지 잘 보세요. 등차수열의 합 공식은 두 가지가 있었는데, 사실은 같은 거였어요. 등비수열의 합 공식은 세 개인데 두 개는 서로 같고 하나는 다른 공식이에요. 공비에 따라 공식이 달라지는데 왜 그런지를 잘 이해하세요.
등차수열의 합 문제와 등비수열의 합 문제는 공식만 다를 뿐 거의 비슷해요. 그리고 공식을 적용해서 계산할 때 조금 더 쉽게 계산할 수 있는데, 이건 연습을 통해서 감을 익혀야 합니다.
등비수열의 합
등차수열의 합을 구할 때는 S n 을 원래 순서대로 한 번, 순서를 바꿔서 한 번 더해서 2로 나눠서 구했어요.
S n = a + ar + ar2 + ar3 + … + arn – 2 + arn – 1
S n = arn – 1 + arn – 2 + … + ar3 + ar2 + ar + a
등차수열에서는 원래 순서대로 더한 것과 거꾸로 더한 것에서 같은 자리에 있는 항을 더하면 모두 값이 같았는데, 등비수열에서는 그렇지 않죠? 등비수열의 합은 다른 방법으로 구해요.
어떻게 하느냐면 순서를 거꾸로 바꿔서 더하는 대신에 S n 에 공비 r을 곱해서 빼는 거예요.
아래에 나온 것처럼 S n 에 공비 r을 곱하면 S n 의 제2항은 rS n 의 제1항과 같고, S n 의 제3항은 rS n 의 제2항과 같죠? 같으니까 그냥 빼면 없어져 버려요.
S n – rS n = (1 – r)S n = a – arn
r ≠ 1이면 양변을 (1 – r)로 나눌 수 있죠?
r = 1이면 양변을 나눌 수 없어요. 다른 방법을 찾아야 해요. 그냥 a n 를 죽 쓰고 더해보죠.
S n = a + ar + ar2 + … + arn – 1
= a + a + a + … + a (∵ r = 1)
= na
r ≠ 1일 때 공식은 일반항을 이용한 공식인데, 마지막 항 a n = arn – 1 = l이라고 하면 공식이 어떻게 바뀌는지 구해보죠.
을 전개해볼까요?
r ≠ 1일 때 2개의 공식, r = 1일 때 1개의 공식을 얻었어요.
제1항이 a, 공비가 r인 등비수열의 제1항부터 제n항까지의 합 S n
제1항이 a, 공비가 r, 마지막 항이 l인 등비수열의 제1항부터 제n항까지의 합 S n
다음 등비수열의 합을 구하여라.
(1) 첫째항이 1, 공비가 3인 등비수열의 제1항부터 제5항까지의 합
(2) 2, 4, 8, 16, 32, …, 1024
(3) 제1항부터 제3항까지의 합이 -3, 제1항부터 제6항까지의 합이 21일 때, 제1항부터 제9항까지의 합을 구하여라.
(1) 첫째항이 1, 공비가 3인 등비수열의 제1항부터 제5항까지의 합을 공식에 바로 대입해보죠.
121이네요.
(2) 2, 4, 8, 16, 32, …, 1024는 첫째항이 2이고 공비가 2 마지막 항이 1024인 등비수열이네요.
마지막 항이 있는 공식을 이용해 볼까요?
아니면 1024가 몇 번째 항인지부터 구해서 합을 얻을 수도 있어요.
2n = 1024 → n = 10
(3) 이게 어려운 문제예요. 풀이 과정을 잘 봐두세요.
제1항부터 제3항까지의 합이 -3을 식으로 나타내면
제1항부터 제6항까지의 합이 21을 식으로 나타내면
식이 두 개고 모르는 문자도 2개인데, 차수가 너무 커서 일반적인 연립방정식으로 풀기는 어려워요. 이때는 어떻게 하느냐면 식 하나를 인수분해한 다음 다른 식을 대입해요.
r = -2를 구했으니까 두 식 중 아무 식에나 대입해서 a를 구할 수도 있어요.
a와 r을 구했으니까 등비수열의 합 공식에 대입해보죠.
답은 -171이네요.
이 문제는 r = -2를 바로 구할 수 있는 문제고요. 때에 따라서는 r을 바로 구하지 못할 때도 있어요. 이때의 풀이법을 알아보죠.
r을 구했던 식으로 돌아가죠.
r3 + 1 = -7
r3 = -8
r = -2를 바로 구할 수 있지만 구할 수 없다고 가정하고 풀어볼게요.
제1항부터 제9항까지의 합을 식으로 나타내면
이 문제에서는 r3 = -8 → r = -2를 구할 수 있어서 이 과정이 굳이 필요 없지만, 문제에 따라서 r3 = -7처럼 r을 바로 구하지 못하는 경우가 있어요. 이럴 때에도 문제를 풀려면 위 과정을 이해해야 해요.
되게 어려운 문제인데, 문제에 나온 설명대로 식을 세우고, 한 식을 인수분해한 다음 다른 식을 대입하는 방법으로 풀어요.
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[수학I] 22. 등비수열의 합 (개념+공식+수학문제)
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[정리] 첫째항이 a, 공비가 r인 등비수열에 대하여 첫째항부터 제n항까지의 합 S_n은을 만족합니다.
<공식 유도>
첫째항은 a
제2항은 ar
제3항은 ar^2…
제n항은 ar^(n-1)
입니다.
이와 같은 방법으로 등비수열의 합 공식을 유도할 수 있습니다.
이제 여러가지 등비수열의 합을 구해봅시다.
예) 첫째항이 2, 공비가 2인 등비수열에서 첫째항부터 제7항까지의 합은
254입니다.
예) 첫째항이 5, 공비가 -3인 등비수열에서 첫째항부터 제5항까지의 합은
305입니다.
| 학습지 미리보기
| 첨부파일
2020SP H2-22.pdf 0.14MB
| 닫는 말
등비수열의 합 공식은 첫째항과 공비, 항의 개수를 이용하면 구할 수 있습니다.
거듭제곱수를 알고 있다면 쉽게 계산할 수 있습니다.
특히 밑이 2인 수는 10제곱까지,
밑이 3인 수는 5제곱까지 외우고 있으면 쉽게 계산할 수 있습니다.
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등비수열의 합 공식 및 증명하기
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등비수열의 합 공식
등비수열이 수열에서 가장 많이 접하게 되듯이 등비수열의 합 공식 또한 많이 접하게 되는 공식 중 하나다.
등비수열의 첫째항을 a, 공비를 r이라고 하면, 첫째항부터 n항까지의 합 S n 은 다음과 같이 말할 수 있다.
참고로 등비수열의 합은 2가지 경우가 있다.
첫째는 공비가 1이 아닐 때
둘째는 공비가 1일 때
증명하기
등비수열의 합의 공식을 유도하는 것은 등차수열의 합의 공식을 유도하는 것과 비슷하지만 미묘한 차이가 있다.
기존의 Sn을 나열한 식과 이 식에 r을 곱한 식을 나열하여 연산하면 쉽게 유도할 수 있다.
아래를 보자.
등비수열의 합의 공식으로 일반항 구하기
등차수열의 합의 공식으로 일반항을 구하는 것과 전혀 다르지 않다.
S n-1 에 a n 이 더해진 것이 S n 이다.
즉.
S n = a 1 +a 2 +a 3 +…..+a n-1 +a n
S n-1 = a 1 +a 2 +a 3 +…..+a n-1
두 식을 뺀다면 결국 S n -S n-1 = a n 일반항을 구할 수 있다.
※함께 읽기
등비수열과 등비수열의 일반항, 등비중항
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[부분합] 등차수열의 합도 등차수열, 등비수열의 합도 등비수열
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부분합으로 이루어진 수열
오늘은 등차수열과 등비수열의 부분합으로 이루어진 수열을 살펴볼까 합니다. 간단하게 결론부터 이야기하자면, 앞에서부터 차례로 같은 개수로 끊어서 더하면 등차수열의 합은 등차수열, 등비수열의 합은 등비수열이에요.
이걸 이용하면 빨리 풀 수 있는 문제가 많기 때문에 한 번 익힌 다음 오래오래 써먹어봅시다.
등차수열의 합은 등차수열
간단합니다. 등차수열을 n개씩 잘라서 더해볼게요.
즉, 합끼리의 차도 항상 동일하기 때문에, 이 역시 등차수열입니다.
문자로 쓰니 조금 어려운가요? 좀 더 쉽게 예제를 풀면서 익혀보도록 할게요.
예제 1
등차수열 {an}의 첫째항부터 제 n항까지의 합을 Sn이라 하자. S5=25, S10=75일 때, S15의 값을 구하시오.
앞에서부터 5개씩 잘라서 더한 다음 관찰을 해봅시다.
사실 50이 등차 중항이므로 바로 50×3=150으로 계산해도 됩니다. 그렇지만 일단 5개씩 잘라서 더한 값 역시 등차수열이란 걸 기억해 두면 좀 더 좋겠죠?
다음은 등비수열을 살펴봅시다.
등비수열의 합은 등비수열
역시나 마찬가지입니다. n개씩 잘라서 더한 부분합의 경우 역시나 등비수열임을 알 수 있죠. 등비수열의 경우에는 같은 항의 개수만큼 잘라서 더하면, 공비를 바로 계산하기도 매우 쉬운 편입니다.
개인적으로 특히나 등비수열의 합의 경우, 공식에 거듭제곱이나 분수꼴이 계속 나와서 제가 계산이 좀 하기가 싫어서.. 나름 유용하게 쓰고 있달까요?
아무튼 이것도 예제를 풀어보면서 익혀보도록 합시다.
예제 2
등비수열 {an}의 첫째항부터 제 n항까지의 합을 Sn이라 하자. S10=10, S20=30일 때, S30의 값을 구하시오.
수열은 계산하는 시간이 꽤나 걸리는 편이니 여러가지 팁들을 알고 계시면 시험 볼 때 도움이 꽤 많이 된답니다.
나중에 같은 내용인데 다른 유형이라 다뤄야하는 문제들이 있다면 좀 더 추가로 올려보도록 할게요.
그럼 열공하세요!
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[5분 고등수학] 등비수열의 합
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등비수열은 ‘비(ratio)’가 일정한 수열입니다. 일정한 비를 공비라고 부릅니다. 첫째항을 a, 공비를 r이라고 놓았을 때 수열은 아래와 같습니다.
$a_{1}=a$
$a_{2}=ar$
$a_{3}=ar^{2}$
$a_{4}=ar^{3}$
…
$a_{n}=ar^{n-1}$
이때 $a_{n}$을 일반항이라고 부릅니다.
등비수열의 합을 구해봅시다. 등비수열의 합은 $S_{n}$ 이라고 나타냅니다. 수열의 첫째항 부터 n번째 항까지의 합을 의미합니다.
$S_{n}=a_{1}+a_{2}+ \cdots +a_{n}$
첫항이 a이고 공비가 r인 등차수열의 합은 아래와 같습니다.
$S_{n}=\frac{a\left ( 1-r \right )^{n}}{1-r}$
이 공식을 유도해봅시다. 첫항부터 n번째 항까지의 합을 오름차순으로 한번 쓰고, 양변에 r을 곱해서 한번 더 써봅시다.
$S_{n}=a+ar+ar^{2}+\cdots + +ar^{n-2}++ar^{n-1}$
$rS_{n}=\ \ ar+ar^{2}+\cdots + +ar^{n-1}++ar^{n}$
위 식에서 아래 식을 뺴줍니다.
$(1-r)S_{n}=a-ar^{n}$
우변을 a로 묶어줍시다.
$(1-r)S_{n}=a\left ( 1-r^{n} \right )$
양변을 (1-r)로 나눠주면 됩니다.
$S_{n}=\frac{a\left ( 1-r^{n} \right )}{1-r}$
위 공식은 매번 유도할 수 없으니 외워서 사용해야 합니다.
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