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부분 적분 – 위키백과, 우리 모두의 백과사전
미적분학에서 부분 적분(部分積分, 영어: integration by parts)은 두 함수의 곱을 적분하는 기법 … “부분적분”. 《수학노트》. “Integration by parts”.
Source: ko.wikipedia.org
Date Published: 12/16/2021
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[적분] 16장. 적분법: 부분적분 – Herald’s Lab
부정적분의 부분적분에서 첨가되는 여러 적분상수들은 총합의 개념으로 마지막 결론 부분에서 간단히 C로 제시한다. 점화공식. □. 부분적분을 활용해 …
Source: herald-lab.tistory.com
Date Published: 2/27/2021
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[적분] 4. 부분적분 – Lyssion 스터디 노트
부분적분법 부정적분은 미분의 역작용이므로 모든 적분 공식과 계산 기법들은 미분 공식에서 파생된다. 부분적분 또한 곱의 미분법에서 출발한다.
Source: lyssion-studynote.tistory.com
Date Published: 8/14/2021
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주제에 대한 기사 평가 부분적 분 공식
- Author: 수악중독
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- Date Published: 2017. 2. 8.
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위키백과, 우리 모두의 백과사전
미적분학에서 부분 적분(部分積分, 영어: integration by parts)은 두 함수의 곱을 적분하는 기법이다.[1][2][3][4][5]
정의 [ 편집 ]
만약 I ⊆ R {\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} } 가 구간이며 u , v : I → R {\displaystyle u,v\colon I\to \mathbb {R} } 가 연속 미분 가능 함수라면 (도함수 u ′ , v ′ {\displaystyle u’,v’} 가 연속 함수라면), 다음이 성립한다.[2]
∫ u ( x ) v ′ ( x ) d x = u ( x ) v ( x ) − ∫ u ′ ( x ) v ( x ) d x {\displaystyle \int u(x)v'(x)\mathrm {d} x=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\mathrm {d} x}
이를 u ′ ( x ) d x = d u {\displaystyle u'(x)\mathrm {d} x=\mathrm {d} u} 및 v ′ ( x ) d x = d v {\displaystyle v'(x)\mathrm {d} x=\mathrm {d} v} 를 통해 간략히 쓰면 다음과 같다.
∫ u d v = u v − ∫ v d u {\displaystyle \int u\mathrm {d} v=uv-\int v\mathrm {d} u}
만약 u , v : [ a , b ] → R {\displaystyle u,v\colon [a,b]\to \mathbb {R} } 가 연속 미분 가능 함수라면, 다음이 성립한다.[2]
∫ a b u ( x ) v ′ ( x ) d x = [ u ( x ) v ( x ) ] a b − ∫ a b u ′ ( x ) v ( x ) d x = u ( b ) v ( b ) − u ( a ) v ( a ) − ∫ a b u ′ ( x ) v ( x ) d x {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}u(x)v'(x)\mathrm {d} x&={\bigg [}u(x)v(x){\bigg ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\mathrm {d} x\\&=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\mathrm {d} x\end{aligned}}}
증명 [ 편집 ]
곱의 법칙에 따라 다음이 성립한다.
u v ′ = ( u v ) ′ − u ′ v {\displaystyle uv’=(uv)’-u’v}
양변은 모두 연속 함수이므로 부정적분이 존재한다. 양변에 부정적분을 취하면 다음을 얻으므로 부정적분에 대한 명제가 성립한다.[3]
∫ u ( x ) v ′ ( x ) d x = u ( x ) v ( x ) − ∫ u ′ ( x ) v ( x ) d x {\displaystyle \int u(x)v'(x)\mathrm {d} x=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\mathrm {d} x}
또한 양변은 모두 적분 가능하며, 양변에 적분을 취하면 다음을 얻으므로 정적분의 경우가 성립한다.[2]
∫ a b u ( x ) v ′ ( x ) d x = [ u ( x ) v ( x ) ] a b − ∫ a b u ′ ( x ) v ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}u(x)v'(x)\mathrm {d} x={\bigg [}u(x)v(x){\bigg ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\mathrm {d} x}
LIATE 법칙 (또는 로.다.삼.지 법칙) [ 편집 ]
이 명제에서는 주어진 적분에서 u {\displaystyle u} 와 d v {\displaystyle \mathrm {d} v} 를 선택하는 방법을 밝히지는 않는데, 보통 도함수가 비교적 간단한 부분을 u {\displaystyle u} 로 두거나, 원함수가 비교적 간단한 부분을 v ′ {\displaystyle v’} 으로 두는 것이 좋다. 도함수가 자기 자신보다 단순한 정도에 따라, 두 함수 가운데 로그 함수, 역삼각 함수, 대수적 함수, 삼각 함수, 지수 함수에서 먼저 나오는 유형에 속하는 하나를 u {\displaystyle u} 로 삼는 법칙을 제시한 저자도 존재하며, 이러한 법칙을 함수 유형들의 첫자들을 따 LIATE 법칙(영어: LIATE rule)이라고 부른다. 즉 로그함수, 역삼각함수, 다항함수, 삼각함수, 지수함수 순으로 ‘왼쪽 방향’으로 갈수록 미분에 용이하며, ‘오른쪽 방향’으로 갈수록 적분에 용이하다는 것이다.[6] 그러나 이 법칙은 때로 옳지 않을 수 있다.
따름정리 [ 편집 ]
만약 I ⊆ R {\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} } 가 구간이며 u , v : I → R {\displaystyle u,v\colon I\to \mathbb {R} } 가 n {\displaystyle n} 번 연속 미분 가능 함수라면 ( n {\displaystyle n} 계 도함수 u ( n ) , v ( n ) {\displaystyle u^{(n)},v^{(n)}} 이 연속 함수라면), 다음이 성립한다.[3]
∫ u ( x ) v ( n ) ( x ) d x = ∑ k = 0 n − 1 ( − 1 ) k u ( k ) ( x ) v ( n − 1 − k ) ( x ) + ( − 1 ) n ∫ u ( n ) ( x ) v ( x ) d x {\displaystyle \int u(x)v^{(n)}(x)\mathrm {d} x=\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k}u^{(k)}(x)v^{(n-1-k)}(x)+(-1)^{n}\int u^{(n)}(x)v(x)\mathrm {d} x}
이는 부분 적분을 반복하여 증명할 수 있다. 이러한 적분을 풀 때에는 보통 이 공식에 대입하는 대신 부분 적분을 직접 반복하거나 표를 사용한다.
예 [ 편집 ]
첫째 예 [ 편집 ]
부정적분
∫ x 2 ln x d x {\displaystyle \int x^{2}\ln x\mathrm {d} x}
을 구하자. u = ln x {\displaystyle u=\ln x} 이며 d v = x 2 d x {\displaystyle \mathrm {d} v=x^{2}\mathrm {d} x} 라고 하자. 그러면 d u = ( d x ) / x {\displaystyle \mathrm {d} u=(\mathrm {d} x)/x} 이며 (상수차를 무시하면) v = x 3 / 3 {\displaystyle v=x^{3}/3} 이다. 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.[1]
∫ x 2 ln x d x {\displaystyle \int x^{2}\ln x\mathrm {d} x} = x 3 3 ln x − 1 3 ∫ x 2 d x {\displaystyle ={\frac {x^{3}}{3}}\ln x-{\frac {1}{3}}\int x^{2}\mathrm {d} x} = x 3 3 ln x − 1 9 x 3 + C {\displaystyle ={\frac {x^{3}}{3}}\ln x-{\frac {1}{9}}x^{3}+C}
둘째 예 [ 편집 ]
부정적분
∫ arcsin x d x {\displaystyle \int \arcsin x\mathrm {d} x}
를 구하자. u = arcsin x {\displaystyle u=\arcsin x} 이며 d v = d x {\displaystyle \mathrm {d} v=\mathrm {d} x} 라고 하자. 그러면 d u = ( d x ) / 1 − x 2 {\displaystyle \mathrm {d} u=(\mathrm {d} x)/{\sqrt {1-x^{2}}}} 이며 v = x {\displaystyle v=x} 이다. 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.[3]
∫ arcsin x d x {\displaystyle \int \arcsin x\mathrm {d} x} = x arcsin x − ∫ x 1 − x 2 d x {\displaystyle =x\arcsin x-\int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x} = x arcsin x + 1 2 ∫ d ( 1 − x 2 ) 1 − x 2 {\displaystyle =x\arcsin x+{\frac {1}{2}}\int {\frac {\mathrm {d} (1-x^{2})}{\sqrt {1-x^{2}}}}} = x arcsin x + 1 − x 2 + C {\displaystyle =x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C}
셋째 예 [ 편집 ]
부정적분
∫ x 2 sin x d x {\displaystyle \int x^{2}\sin x\mathrm {d} x}
을 구하자. u = x 2 {\displaystyle u=x^{2}} 이며 d v = sin x d x {\displaystyle \mathrm {d} v=\sin x\mathrm {d} x} 라고 하자. 그러면 d u = 2 x {\displaystyle \mathrm {d} u=2x} 이며 v = − cos x {\displaystyle v=-\cos x} 이다. 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.
∫ x 2 sin x d x = − x 2 cos x + 2 ∫ x cos x d x {\displaystyle \int x^{2}\sin x\mathrm {d} x=-x^{2}\cos x+2\int x\cos x\mathrm {d} x}
우변의 마지막 항의 적분에서 u = x {\displaystyle u=x} , d v = cos x d x {\displaystyle \mathrm {d} v=\cos x\mathrm {d} x} , d u = d x {\displaystyle \mathrm {d} u=\mathrm {d} x} , v = sin x {\displaystyle v=\sin x} 라고 하여 다시 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.
∫ x cos x d x {\displaystyle \int x\cos x\mathrm {d} x} = x sin x − ∫ sin x d x {\displaystyle =x\sin x-\int \sin x\mathrm {d} x} = x sin x + cos x + C {\displaystyle =x\sin x+\cos x+C}
따라서 구하려는 적분은 다음과 같다.[1]
∫ x 2 sin x d x = − x 2 cos x + 2 x sin x + 2 cos x + C {\displaystyle \int x^{2}\sin x\mathrm {d} x=-x^{2}\cos x+2x\sin x+2\cos x+C}
넷째 예 [ 편집 ]
부정적분
∫ x 2 − 1 d x {\displaystyle \int {\sqrt {x^{2}-1}}\mathrm {d} x}
을 구하자. u = x 2 − 1 {\displaystyle u={\sqrt {x^{2}-1}}} 이며 d v = d x {\displaystyle \mathrm {d} v=\mathrm {d} x} 라고 하자. 그러면 d u = ( x / x 2 − 1 ) d x {\displaystyle \mathrm {d} u=(x/{\sqrt {x^{2}-1}})\mathrm {d} x} 이며 v = x {\displaystyle v=x} 이다. 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.[4]
∫ x 2 − 1 d x {\displaystyle \int {\sqrt {x^{2}-1}}\mathrm {d} x} = x x 2 − 1 − ∫ x 2 x 2 − 1 d x {\displaystyle =x{\sqrt {x^{2}-1}}-\int {\frac {x^{2}}{\sqrt {x^{2}-1}}}\mathrm {d} x} = x x 2 − 1 − ∫ x 2 − 1 d x − ∫ d x x 2 − 1 {\displaystyle =x{\sqrt {x^{2}-1}}-\int {\sqrt {x^{2}-1}}\mathrm {d} x-\int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {x^{2}-1}}}} = x x 2 − 1 − ln | x + x 2 − 1 | − ∫ x 2 − 1 d x {\displaystyle =x{\sqrt {x^{2}-1}}-\ln |x+{\sqrt {x^{2}-1}}|-\int {\sqrt {x^{2}-1}}\mathrm {d} x}
따라서 구하려는 적분은 다음과 같다.[4]
∫ x 2 − 1 d x = 1 2 x x 2 − 1 − 1 2 ln | x + x 2 − 1 | + C {\displaystyle \int {\sqrt {x^{2}-1}}\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}x{\sqrt {x^{2}-1}}-{\frac {1}{2}}\ln |x+{\sqrt {x^{2}-1}}|+C}
다섯째 예 [ 편집 ]
다음과 같은 두 적분을 구하자.
∫ e a x cos b x d x {\displaystyle \int e^{ax}\cos bx\mathrm {d} x} ∫ e a x sin b x d x {\displaystyle \int e^{ax}\sin bx\mathrm {d} x}
이 둘에 각각 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.
∫ e a x cos b x d x {\displaystyle \int e^{ax}\cos bx\mathrm {d} x} = 1 b ∫ e a x d ( sin b x ) {\displaystyle ={\frac {1}{b}}\int e^{ax}\mathrm {d} (\sin bx)} = 1 b e a x sin b x − a b ∫ e a x sin b x d x {\displaystyle ={\frac {1}{b}}e^{ax}\sin bx-{\frac {a}{b}}\int e^{ax}\sin bx\mathrm {d} x}
∫ e a x sin b x d x {\displaystyle \int e^{ax}\sin bx\mathrm {d} x} = − 1 b ∫ e a x d ( cos b x ) {\displaystyle =-{\frac {1}{b}}\int e^{ax}\mathrm {d} (\cos bx)} = − 1 b e a x cos b x + a b ∫ e a x cos b x d x {\displaystyle =-{\frac {1}{b}}e^{ax}\cos bx+{\frac {a}{b}}\int e^{ax}\cos bx\mathrm {d} x}
즉, 다음과 같은 연립 방정식이 성립한다.
b ∫ e a x cos b x d x + a ∫ e a x sin b x d x = e a x sin b x {\displaystyle b\int e^{ax}\cos bx\mathrm {d} x+a\int e^{ax}\sin bx\mathrm {d} x=e^{ax}\sin bx} a ∫ e a x cos b x d x − b ∫ e a x sin b x d x = e a x cos b x {\displaystyle a\int e^{ax}\cos bx\mathrm {d} x-b\int e^{ax}\sin bx\mathrm {d} x=e^{ax}\cos bx}
따라서 구하려는 적분은 다음과 같다.[4]
∫ e a x cos b x d x = 1 a 2 + b 2 e a x ( a cos b x + b sin b x ) + C {\displaystyle \int e^{ax}\cos bx\mathrm {d} x={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}e^{ax}(a\cos bx+b\sin bx)+C} ∫ e a x sin b x d x = 1 a 2 + b 2 e a x ( a sin b x − b cos b x ) + C {\displaystyle \int e^{ax}\sin bx\mathrm {d} x={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}e^{ax}(a\sin bx-b\cos bx)+C}
여섯째 예 [ 편집 ]
다음과 같은 적분을 구하자.
∫ d x ( x 2 + a 2 ) 2 ( a > 0 ) {\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{(x^{2}+a^{2})^{2}}}\qquad (a>0)}
다음과 같은 부분 적분을 사용하자 (구하려는 적분에 직접 적용하지 않았음에 주의하자).
∫ d x x 2 + a 2 {\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{x^{2}+a^{2}}}} = x x 2 + a 2 + 2 ∫ x 2 ( x 2 + a 2 ) 2 d x {\displaystyle ={\frac {x}{x^{2}+a^{2}}}+2\int {\frac {x^{2}}{(x^{2}+a^{2})^{2}}}\mathrm {d} x} = x x 2 + a 2 + 2 ∫ d x x 2 + a 2 − 2 a 2 ∫ d x ( x 2 + a 2 ) 2 {\displaystyle ={\frac {x}{x^{2}+a^{2}}}+2\int {\frac {\mathrm {d} x}{x^{2}+a^{2}}}-2a^{2}\int {\frac {\mathrm {d} x}{(x^{2}+a^{2})^{2}}}}
따라서 구하려는 적분은 다음과 같다.[4]
∫ d f x ( x 2 + a 2 ) 2 {\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} fx}{(x^{2}+a^{2})^{2}}}} = 1 2 a 2 x x 2 + a 2 + 1 2 a 2 ∫ d x x 2 + a 2 {\displaystyle ={\frac {1}{2a^{2}}}{\frac {x}{x^{2}+a^{2}}}+{\frac {1}{2a^{2}}}\int {\frac {\mathrm {d} x}{x^{2}+a^{2}}}} = 1 2 a 2 x x 2 + a 2 + 1 2 a 3 arctan x a + C {\displaystyle ={\frac {1}{2a^{2}}}{\frac {x}{x^{2}+a^{2}}}+{\frac {1}{2a^{3}}}\arctan {\frac {x}{a}}+C}
같이 보기 [ 편집 ]
각주 [ 편집 ]
가 나 다 Larson, Ron; Edwards, Bruce (2013). 《Calculus: Early Transcendental Functions》 (영어) 6판. Boston, MA: Cengage Learning. ISBN 978-1-285-77477-0 . LCCN 2013949101. 가 나 다 라 Lax, Peter D.; Terrell, Maria Shea (2014). 《Calculus With Applications》. Undergraduate Texts in Mathematics (영어) 2판. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4614-7946-8. ISBN 978-1-4614-7945-1 . LCCN 2013946572. 가 나 다 라 Stewart, Seán M. (2018년 2월). 《How to Integrate It》 (영어). Cambridge University Press. doi:10.1017/9781108291507. ISBN 978-1-108-41881-2 . 가 나 다 라 마 伍胜健 (2009년 8월). 《数学分析. 第一册》 (중국어). 北京: 北京大学出版社. ISBN 978-7-301-15685-8 . ↑ 伍胜健 (2010년 2월). 《数学分析. 第二册》 (중국어). 北京: 北京大学出版社. ISBN 978-7-301-15876-0 . ↑ Kasube, Herbert E. (1983년 3월). “A Technique for Integration by Parts”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 90 (3): 210-211. doi:10.2307/2975556. ISSN 0002-9890. JSTOR 2975556.
[적분] 16장. 적분법: 부분적분
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미분법의 곱법칙(product rule)에 대응되는 부분적분법(integration by parts, IBP)을 알아보자.
※ The IBP
[1] Suppose that u(x) and v(x) are differentiable functions. [2] The product rule in terms of differentials gives us:d(uv)=udv+vdu
[3] Rearranging the rule, we can write:udv=d(uv)-vdu
[4] Integrating both sides with respect to x:∫udv=uv-∫vdu (integration by parts formula)
부정적분 부분적분
■
IBP에서 핵심적인 사항은 u와 dv를 적절하게 선별하는 일이다. 그리고 이런 피적분함수를 치환할 때, 경험적으로 ILATE 규약을 활용한다. ILATE란,
Inverse trigonometric
Logarithmic
Algebraic
Trigonometric
Exponential
의 첫 알파벳 글자 모음으로, 가령
와 같이 피적분함수가 합성함수 일 때, ILATE에 근거해 u로 가능성 있는 함수를 선택한다면 algebraic 함수인 x가 exponential 함수인 e^2x보다 우선한다.
– IBP를 시행할 때, u와 dv는 피적분함수를 모두 포함하도록 설정한다.
EXAMPLE 16.1 부정적분 부분적분
□
부정적분의 부분적분에서 첨가되는 여러 적분상수들은 총합의 개념으로 마지막 결론 부분에서 간단히 C로 제시한다.
점화공식
■
부분적분을 활용해 n≥2인 정수 n에 대한 점화공식을 증명할 수 있다.
정적분 부분적분
■
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[적분] 4. 부분적분
부분적분법
부정적분은 미분의 역작용이므로 모든 적분 공식과 계산 기법들은 미분 공식에서 파생된다. 부분적분 또한 곱의 미분법에서 출발한다. 미분가능한 함수 $f(x)$, $g(x)$에 대해
$$ \{f(x)g(x)\}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\Longrightarrow f'(x)g(x)=\{f(x)g(x)\}’-f(x)g'(x) $$
양변을 $x$에 대해 부정적분하면
$$ \int_{}{}f'(x)g(x)\, dx=\int_{}{}\{f(x)g(x)\}’\, dx-\int_{}{}f(x)g'(x)\, dx=f(x)g(x)-\int_{}{}f(x)g'(x)\, dx $$
부분적분을 통해 적분 시에 단순한 형태가 되는 함수와 미분 시에 단순한 형태가 되는 함수의 곱으로 이루어진 함수를 쉽게 적분할 수 있다. 이렇듯 부분적분의 본질적 의미는 원하는 함수의 차수를 높이거나 낮출 수 있다는 것에 있다.
부분적분을 이용한 적분 계산
부분적분은 특히 다항함수$\times$초월함수 형태나 초월함수$\times$초월한수 형태의 함수를 적분하는 데 많이 사용된다.
다항함수$\times$지수함수 꼴
다항함수를 $g(x)$, 지수함수를 $f(x)$로 놓고 위의 부분적분 공식 그대로 계산하면 된다.
$\int_{}{}xe^x\, dx$ 의 경우
$$ \int_{}{}xe^x\, dx=xe^x-\int_{}{}e^x\, dx=xe^x-e^x=(x-1)e^x+C $$
$\int_{}{}x^2e^x\, dx$ 의 경우
$$ \int_{}{}x^2e^x\, dx=x^2e^x-\int_{}{}2xe^x\, dx=x^2e^x-2\{ (x-1)e^x\}=(x^2-2x+2)e^x+C $$
다향함수$\times$삼각함수 꼴
다항함수를 $g(x)$, 삼각함수를 $f(x)$로 놓고 위의 부분적분 공식 그대로 계산하면 된다.
$\int_{}{}x\sin x\, dx$ 의 경우
$$ \int_{}{}x\sin x\, dx=-x\cos x+\int_{}{}\cos x\, dx=-x\cos x+\sin x+C $$
지수함수$\times$삼각함수 꼴
삼각함수를 $g(x)$, 지수함수를 $f(x)$로 놓고 위의 부분적분 공식 그대로 계산하면 된다.
$\int_{}{}e^x\sin x\, dx$ 의 경우
$$ \int_{}{}e^x\sin x\, dx=e^x\sin x-\int_{}{}e^x\cos x\, dx=e^x\sin x+e^x\cos x-\int_{}{}e^x\sin x\, dx $$
$$ 2\times\int_{}{}e^x\sin x\, dx=e^x\left(\sin x+\cos x\right)\Longrightarrow\int_{}{}e^x\sin x\, dx=\frac{e^x}{2}\left(\sin x+\cos x\right) +C $$
다항함수$\times$로그함수 꼴
로그함수를 $g(x)$, 다항함수를 $f(x)$로 놓고 위의 부분적분 공식 그대로 계산하면 된다.
$\int_{}{}\ln x\, dx$ 의 경우
$$ \int_{}{}\ln x\, dx=\int_{}{}(x)’\ln x\, dx=x\ln x-\int_{}{}\frac{x}{x}\, dx=x\ln x-x+C $$
$\int_{}{}x^r\ln x\, dx$ 의 경우
$$ \int_{}{}x^r\ln x\, dx=\frac{1}{1+r}x^{1+r}\ln x-\int_{}{}\frac{x^{1+r}}{(1+r)}\frac{1}{x}\, dx=\frac{x^{1+r}}{1+r}\ln x-\int_{}{}\frac{x^r}{1+r}\, dx=\frac{x^{1+r}}{1+r}\ln x-\frac{x^{1+r}}{(1+r)^2}+C $$
적분
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